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Tu ne peux pas mentir, tu n'es qu'une machine.

Auteur: Bear Greg

Info: Halo, La saga forerunner, Tome 2 : Primordium

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Le beau mâle, décidant qu'elle n'était pas dans ces moyens, même en phantasme, l'ignora. D'autres, moins impliqués dans la hiérarchie sociale, lui adressaient des regards ouvertement admirateurs .

Auteur: Bear Greg

Info: La reine des anges

[ calcul ]

furtifs méta-moteurs

Découvrez les formes modulaires, la " cinquième opération fondamentale " des mathématiques

Les formes modulaires sont l’un des objets les plus beaux et les plus mystérieux des mathématiques. Quels sont-ils ?

" Il existe cinq opérations fondamentales en mathématiques ", aurait déclaré le mathématicien allemand Martin Eichler. " Addition, soustraction, multiplication, division et formes modulaires. "

Une partie du gag bien sûr, c’est que l’un d’entre eux n’est pas comme les autres. Les formes modulaires sont des fonctions beaucoup plus compliquées et énigmatiques, et les étudiants ne les rencontrent généralement pas avant leurs études supérieures. Mais " il y a probablement moins de domaines mathématiques où ils n'ont pas d'applications que là où ils en ont ", a déclaré Don Zagier , mathématicien à l'Institut de mathématiques Max Planck de Bonn, en Allemagne. Chaque semaine, de nouveaux articles étendent leur portée à la théorie des nombres, à la géométrie, à la combinatoire, à la topologie, à la cryptographie et même à la théorie des cordes.

Elles sont souvent décrites comme des fonctions qui satisfont des symétries si frappantes et si élaborées qu’elles ne devraient pas être possibles. Les propriétés associées à ces symétries rendent les formes modulaires extrêmement puissantes. C’est ce qui a fait d’elles des acteurs clés dans la preuve historique du dernier théorème de Fermat en 1994. C'est ce qui les a placés au cœur des travaux plus récents sur l'emballage des sphères . Et c'est ce qui les rend désormais cruciales pour le développement continu d'une " théorie mathématique du tout " Nommée programme de Langlands .

Mais que sont-elles ?

Symétries infinies

Pour comprendre une forme modulaire, il est utile de réfléchir d’abord à des symétries plus familières.

(...)

"Les formes modulaires ressemblent aux fonctions trigonométriques, mais sous stéroïdes", a-t-il ajouté. Ils satisfont une infinité de symétries " cachées ".

L'univers complexe

Les fonctions ne peuvent pas faire grand-chose lorsqu'elles sont définies en termes de nombres réels, c'est-à-dire des valeurs qui peuvent être exprimées sous forme décimale conventionnelle. En conséquence, les mathématiciens se tournent souvent vers les nombres complexes, qui peuvent être considérés comme des paires de nombres réels. Tout nombre complexe est décrit en termes de deux valeurs : une composante " réelle " et une composante " imaginaire ", qui est un nombre réel multiplié par la racine carrée de −1 (que les mathématiciens écrivent comme je).

Tout nombre complexe peut donc être représenté comme un point dans un plan à deux dimensions.

Il est difficile de visualiser les fonctions des nombres complexes, c’est pourquoi les mathématiciens se tournent souvent vers la couleur. Par exemple, vous pouvez colorer le plan complexe pour qu'il ressemble à une roue arc-en-ciel. La couleur de chaque point correspond à son angle en coordonnées polaires. Directement à droite du centre, là où les points ont un angle de 0 degré, vous obtenez du rouge. À 90 degrés, ou vers le haut, les points sont de couleur vert vif. Et ainsi de suite. Enfin, les courbes de niveau marquent les changements de taille ou d'ampleur, comme sur une carte topographique.

(...) (partie supprimée, voir pour plus sur le lien qui précède)

Le domaine fondamental

Pour ce faire, il est utile d’essayer de simplifier la façon dont nous envisageons ces fonctions complexes.

En raison des symétries de la forme modulaire, vous pouvez calculer la fonction entière sur la base d'un seul petit groupe d'entrées, situé dans une région du plan appelée domaine fondamental. Cette région ressemble à une bande montant à partir de l’axe horizontal avec un trou semi-circulaire découpé dans son fond.

Si vous savez comment la fonction se comporte là-bas, vous saurez ce qu'elle fait partout ailleurs. Voici comment:

Des transformations spéciales copient un fragment du plan complexe, appelé domaine fondamental, dans une infinité d’autres régions. Puisqu’une forme modulaire est définie en termes de ces transformations, si vous savez comment elle se comporte dans le domaine fondamental, vous pouvez facilement comprendre comment elle se comporte

(...) (partie supprimée, voir liens précédents pour plus). 

Espaces contrôlés

Dans les années 1920 et 1930, le mathématicien allemand Erich Hecke a développé une théorie plus approfondie autour des formes modulaires. Surtout, il s’est rendu compte qu’elles existaient dans certains espaces – des espaces avec des dimensions spécifiques et d’autres propriétés. Il a compris comment décrire concrètement ces espaces et les utiliser pour relier différentes formes modulaires entre elles.

Cette prise de conscience a inspiré de nombreuses mathématiques des XXe et XXIe siècles.

Pour comprendre comment, considérons d’abord une vieille question : de combien de façons peut-on écrire un entier donné comme la somme de quatre carrés ? Il n’y a qu’une seule façon d’écrire zéro, par exemple, alors qu’il existe huit façons d’exprimer 1, 24 façons d’exprimer 2 et 32 ​​façons d’exprimer 3. Pour étudier cette séquence — 1, 8, 24, 32 et ainsi de suite — les mathématiciens l'ont codé dans une somme infinie appelée fonction génératrice :

1+8q+24q2+32q3+24q4+48q5+…

Il n'existait pas nécessairement de moyen de connaître le coefficient de, disons, q174 devrait être – c’était précisément la question à laquelle ils essayaient de répondre. Mais en convertissant la séquence en fonction génératrice, les mathématiciens pourraient appliquer des outils issus du calcul et d’autres domaines pour en déduire des informations. Ils pourraient, par exemple, trouver un moyen d’approcher la valeur de n’importe quel coefficient.

Mais il s’avère que si la fonction génératrice est une forme modulaire, vous pouvez faire bien mieux : vous pouvez mettre la main sur une formule exacte pour chaque coefficient.

"Si vous savez qu'il s'agit d'une forme modulaire, alors vous savez tout", a déclaré Jan Bruinier de l'Université technique de Darmstadt en Allemagne.

En effet, les symétries infinies de la forme modulaire ne sont pas seulement belles à regarder : " elles sont si contraignantes ", a déclaré Larry Rolen de l'Université Vanderbilt, qu'elles peuvent être transformées en " un outil pour prouver automatiquement les congruences et les identités entre des choses. "

Les mathématiciens et les physiciens codent souvent des questions intéressantes en générant des fonctions. Ils voudront peut-être compter le nombre de points sur des courbes spéciales ou le nombre d’états dans certains systèmes physiques. "Si nous avons de la chance, alors ce sera une forme modulaire", a déclaré Claudia Alfes-Neumann , mathématicienne à l'université de Bielefeld en Allemagne. Cela peut être très difficile à prouver, mais si vous le pouvez, alors " la théorie des formes modulaires est si riche qu’elle vous offre des tonnes de possibilités pour étudier ces coefficients [de séries] ".

Blocs de construction

Toute forme modulaire va paraître très compliquée. Certaines des plus simples – qui sont utilisées comme éléments de base pour d’autres formes modulaires – sont appelées séries Eisenstein.

Vous pouvez considérer une série d’Eisenstein comme une somme infinie de fonctions. Pour déterminer chacune de ces fonctions, utilisez les points sur une grille 2D infinie :

(...) (partie images et schémas supprimée, voir liens pour plus. )

Le jeu continue

L'étude des formes modulaires a conduit à un flot de triomphes mathématiques. Par exemple, des travaux récents sur l'empilement de sphères, pour lesquels la mathématicienne ukrainienne Maryna Viazovska a remporté la médaille Fields l'année dernière , ont utilisé des formes modulaires. " Quand j'ai vu ça, j'ai été assez surprise ", a déclaré Bruinier. " Mais d'une manière ou d'une autre, ça marche. "

Les formes modulaires se sont révélées liées à un objet algébrique important appelé groupe de monstres. Elles ont été utilisées pour construire des types spéciaux de réseaux appelés graphes d'expansion, qui apparaissent en informatique, en théorie des communications et dans d'autres applications. Ils ont permis d'étudier des modèles potentiels d'interactions de particules en théorie des cordes et en physique quantique.

Le plus célèbre peut-être est que la preuve du dernier théorème de Fermat de 1994 reposait sur des formes modulaires. Le théorème, largement considéré comme l'un des problèmes les plus importants de la théorie des nombres, stipule qu'il n'existe pas trois entiers non nuls a , b et c qui satisfont à l'équation an+bn=cn si n est un nombre entier supérieur à 2. Le mathématicien Andrew Wiles l'a prouvé en supposant le contraire – qu'une solution à l'équation existe – puis en utilisant des formes modulaires pour montrer qu'une telle hypothèse doit conduire à une contradiction.

Il a d’abord utilisé sa solution supposée pour construire un objet mathématique appelé courbe elliptique. Il a ensuite montré qu'on peut toujours associer une forme modulaire unique à une telle courbe. Cependant, la théorie des formes modulaires dictait que dans ce cas, cette forme modulaire ne pouvait pas exister. "C'est trop beau pour être vrai", a déclaré Voight. Ce qui signifiait, à son tour, que la solution supposée ne pouvait pas exister – confirmant ainsi le dernier théorème de Fermat.

Non seulement cela a résolu un problème vieux de plusieurs siècles ; cela a également permis de mieux comprendre les courbes elliptiques, qui peuvent être difficiles à étudier directement (et qui jouent un rôle important dans la cryptographie et les codes correcteurs d'erreurs).

Cette démonstration a également mis en lumière un pont entre la géométrie et la théorie des nombres. Ce pont a depuis été élargi dans le programme Langlands,  un plus grand ensemble de connexions entre les deux domaines – et sujet d'un des efforts de recherche centraux des mathématiques contemporaines. Les formes modulaires ont également été généralisées dans d'autres domaines, où leurs applications potentielles commencent tout juste à être reconnues.

Elles continuent d’apparaître partout en mathématiques et en physique, parfois de manière assez mystérieuse. "Je regarde dans un article sur les trous noirs", a déclaré Steve Kudla de l'Université de Toronto, "et j'y trouve des formes modulaires qui sont mes amies. Mais je ne sais pas pourquoi elles  sont là.

"D'une manière ou d'une autre", a-t-il ajouté, "les formes modulaires capturent certaines des symétries les plus fondamentales du monde".



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org, Jordana Cepelewicz, 21 septembre 2023

[ ultracomplexité ]

sécularisation

Et en effet, pour envisager la question dans toute son étendue, un peuple, une société peuvent-ils, du faîte à la base, dans la variété des couches étagées qui les composent, se passer impunément de toute foi religieuse? et, s’ils parviennent à s’en dépouiller, si, ce que le monde civilisé n’a encore jamais vu à aucune époque de l’histoire, ils mettent entièrement de côté la religion, s’ils bannissent de l’éducation des générations futures Dieu, l’âme, les espérances immortelles, et toutes les fortes croyances que la plupart des hommes ne se transmettent que sous l’enveloppe traditionnelle des dogmes religieux, qui profitera de celte nouvelle évolution des sociétés civilisées, de cette sorte de désenchantement de l’humanité? Sera-ce la liberté ou sera-ce le despotisme ? L’incertitude en pareille matière suffirait à troubler les hommes avant tout préoccupés de l’avenir des sociétés contemporaines. Une chose à nos yeux incontestable, c’est que, si telle ou telle forme religieuse, si le catholicisme notamment, paraît opposer des obstacles à l’établissement de la liberté, les doctrines qui s’en disputent la succession, celles qui semblent du moins avoir le plus de chances d’en recueillir l’héritage parmi les foules, le matérialisme, l’athéisme, le naturalisme épicurien, plus ou moins déguisés sous le voile du positivisme, opposent des obstacles non moindres, sinon à l’établissement de la liberté, du moins à la solidité et à la durée des institutions libres.

Auteur: Leroy-Beaulieu Anatole

Info: Les catholiques libéraux, l'Église et le libéralisme de 1830 à nos jours, Librairie Plon, 1885, pages 8-9

[ laïcité ] [ idéologie de substitution ] [ questions ] [ christianisme ]

école laïque

Cette propension, si contraire à l’esprit et aux espérances du vrai libéralisme, s’expliquerait mal si la sphère des intérêts religieux n’était beaucoup plus vaste qu’elle ne le semble au premier abord. Les préoccupations religieuses, on l’a vu maintes fois dans les dernières années, compliquent et passionnent bien des questions diverses. C’est dans le champ de l’enseignement surtout que les partis politiques sont exposés à des conflits avec l’Eglise ; c’est sur ce terrain glissant que l’Etat est le plus souvent poussé à entrer en lutte avec elle au nom de la raison, de la science ou de l’intérêt national. Oubliant son incompétence en matière de doctrines, il se laisse parfois entraîner à faire contre les idées religieuses ce qu’il a longtemps pratiqué à leur profit. Il se laisse investir du rôle et des fonctions de la religion ; il a ses dogmes philosophiques ou scientifiques qu’il fait prêcher au peuple, et jusqu’à ses catéchismes qu’enseigne une sorte de sacerdoce laïque. Il tend à s’arroger le droit qu’il dénie à l’Eglise, le droit de façonner les générations à sa ressemblance et de couler les âmes dans un moule de son choix, en sorte que si les prétentions de certains croyants nous ramèneraient au moyen âge, celles de certains démocrates nous feraient reculer jusqu’à cette espèce de communisme moral où l’enfant, regardé comme chose publique, était la propriété de la cité. Quelle déconvenue pour les libéraux, qui avaient proclamé le principe de l’incompétence de l’Etat et qui en attendaient la pacification religieuse !

Auteur: Leroy-Beaulieu Anatole

Info: Les catholiques libéraux, l'Église et le libéralisme de 1830 à nos jours, Librairie Plon, 1885, pages XVI-XVII

[ endoctrinement ] [ substitution ] [ éducation ]

éternel-temporel

Entre la démocratie et le christianisme il y a une mutuelle défiance, une antipathie réciproque fondée sur des aspirations inverses, sur une manière opposée de concevoir la vie humaine. Non seulement l’Eglise et la religion ont, aux yeux des démocrates, le tort de personnifier le principe d’autorité, mais en enseignant aux hommes que le but de leur existence n’est pas sur cette terre, le christianisme a, pour l’extrême démocratie, le défaut d’apprendre aux peuples à supporter les souffrances et les injustices de ce monde, et, par là même, de les détourner des novateurs qui leur promettent la félicité ici-bas avec le règne terrestre de l’égalité et de la justice. Aux yeux de la démocratie radicale, la religion est une rivale dont elle refuse de tolérer la concurrence. La Révolution ne prétend à rien moins qu’à remplacer les vieux cultes et à en tenir lieu. Aussi est-ce bien une guerre de religion, une guerre de doctrines qu’elle fait au christianisme, et cette guerre au christianisme, elle la poursuit avec les procédés tour à tour violents et hypocrites propres à toutes les luttes de ce genre.

Auteur: Leroy-Beaulieu Anatole

Info: Les catholiques libéraux, l'Église et le libéralisme de 1830 à nos jours, Librairie Plon, 1885, page XIV-XV

[ politique ] [ incompatibilité ] [ opposition ] [ antagonisme ] [ idéologies ]

politique

Aussi, pour ceux qui la réclament avec le plus d’insistance, la séparation absolue de l’Etat et des Eglises n’est qu’un moyen détourné d’enlever à ces dernières toute existence légale, de les priver de leurs organes essentiels, de les frustrer de leurs ressources matérielles, de leur rendre, en un mot, la vie impossible. La sécularisation, ou mieux la laïcisation, telle que la comprennent ou la pratiquent certains partis, ne tend à rien moins qu’à étouffer sourdement la religion en l’enfermant dans un cercle de plus en plus étroit, en lui interdisant tout mouvement, en lui retranchant les aliments qui la sustentent, en bouchant toutes les ouvertures par où elle peut respirer.

Auteur: Leroy-Beaulieu Anatole

Info: Les catholiques libéraux, l'Église et le libéralisme de 1830 à nos jours, Librairie Plon, 1885, pages XII-XIII

[ conséquences ]

gouvernement

Parmi les causes des désappointements du libéralisme, il en est une toutefois que nous ne saurions nous dispenser de signaler, c’est l’avènement de la démocratie, avènement qui sera le trait le plus saillant de l’histoire du dix-neuvième siècle et auquel le libéralisme a lui-même largement contribué. La démocratie était la seule souveraine dont il pût préparer le règne. Il aurait beau la renier, c’est l’enfant de sa chair et de son sang, mais un enfant qui, tout en gardant l’empreinte de ses traits, ne lui ressemble guère. Fille indisciplinée, passionnée, remuante, impatiente de toute règle, présomptueuse et arrogante, elle est loin d’écouter docilement les froides leçons de son père ; elle ne se fait pas scrupule d’être rebelle à ses maximes ; elle est portée, en grandissant, à ne voir en lui qu’un mentor gênant. Une fois émancipée et investie de la souveraineté, la démocratie s’est presque partout montrée prompte à faire bon marché des solutions libérales, chaque fois qu’elle en croyait apercevoir de plus conformes à ses appétits ou à ses ambitions. Rien de plus simple. Les intérêts ou les penchants, qui avaient d’abord espéré tout gagner à la ruine du principe d’autorité, se sont plus ou moins insurgés contre le principe de liberté, dès qu’ils ne se sont plus flattés d’y trouver leur profit.

Auteur: Leroy-Beaulieu Anatole

Info: Les catholiques libéraux, l'Église et le libéralisme de 1830 à nos jours, Librairie Plon, 1885, page VI

[ idéologies ] [ incompatibilité ]

idéologie

Nous ne voulons parler d’aucune école, d’aucun groupe en particulier, mais bien du libéralisme en général, du libéralisme moderne au sens le plus étendu du mot, du libéralisme français et continental surtout. Quel en est le caractère essentiel, le trait distinctif ? C’est, avant tout, nous semble-t-il, la prétention de résoudre toutes les questions d’une manière rationnelle, à l’aide de principes abstraits, conformément à la logique et aux aspirations de la nature humaine, aspirations revêtues du nom de droits du citoyen, ou de droits du peuple.

Auteur: Leroy-Beaulieu Anatole

Info: Les catholiques libéraux, l'Église et le libéralisme de 1830 à nos jours, Librairie Plon, 1885, page II

[ définition ]

aventurier-né

Il avait mis son propre courage à l'épreuve avec une régularité qui confinait à la perversion.

Auteur: Bear Greg

Info: Eternité

[ souffle ] [ fortitude ] [ psychologie ]