énigme

Prouver l'hypothèse de Riemann ne mettra pas fin à l'histoire. Cela suscitera une série de questions encore plus difficiles et plus pénétrantes. Pourquoi les nombres premiers parviennent-ils à un équilibre aussi délicat entre le hasard et l'ordre ? Et si leurs schémas codent le comportement des systèmes chaotiques quantiques, quels autres joyaux découvrirons-nous lorsque nous creuserons plus profondément ? Ceux qui croient que les mathématiques détiennent la clé de l'Univers pourraient bien réfléchir à une question qui remonte aux anciens : Quels secrets sont enfermés dans les nombres premiers ?

Auteur: Klarreich Erica Gail

Info: Prime Time. New Scientist, November 11, 2000

[ mystère ]

énigme

Riemann a trouvé un passage du monde familier des nombres vers un monde de mathématiques qui aurait semblé tout à fait étrange aux Grecs qui ont étudié les nombres premiers deux mille ans auparavant. Il avait innocemment mélangé des nombres imaginaires avec sa fonction zêta et découvert, comme un alchimiste mathématique, le trésor mathématique émergeant de ce mélange d'éléments que des générations avaient exploré. Il entassa ses idées dans un document de dix pages, étant pleinement conscient que ses idées ouvriraient des perspectives radicalement nouvelles sur les nombres premiers.

Auteur: Sautoy Marcus du

Info: La musique des nombres premiers. Chapitre 2 (p. 58) HarperCollins Publisher, Inc. New York, New York, États-Unis. 2003

[ mystère ] [ hypothèse de riemann ]

postérité

La chose la plus étonnante dans les mathématiques est peut-être qu'elles soient si surprenantes. Les règles que nous établissons au départ semblent ordinaires et inévitables, mais il est impossible de prévoir leurs conséquences. Celles-ci n'ont été découvertes qu'au terme d'une longue étude qui s'est étalée sur un grand nombre de siècles. Une grande partie de nos connaissances est due à un nombre relativement restreint de grands mathématiciens tels que Newton, Euler, Gauss ou Riemann ; peu de carrières ont été plus satisfaisantes que la leur. Ils ont apporté à la pensée humaine une contribution encore plus durable que la grande littérature, puisqu'elle est indépendante de la langue. 

Auteur: Titchmarsh Edward Charles

Info: In  The Pentagon : A Mathematics Magazine for Students (automne 1951), 11, n° 1, 12.

[ durabilité ] [ savoir collectif ] [ logique formelle ] [ dualité ]

hypothèse de Riemann

La révélation comme quoi le graphique apparaît grimper en douceur, même si les nombres premiers eux-mêmes sont si imprévisibles, est l'une des plus miraculeuses en mathématiques et représente l'un de ses points culminants dans l'histoire des nombres premiers. Au dos de la dernière page de son livre de logarithmes, Gauss enregistra la découverte de sa formule pour le nombre de nombres premiers en hausse à N en termes de fonction logarithmique. Pourtant, en dépit de l'importance de la découverte, Gauss n'a dit à personne ce qu'il avait trouvé. Le plus que le monde ait entendu parler de sa révélation furent ces mots énigmatiques, "Vous n'avez aucune idée à quel point il y a de la poésie dans un tableau de logarithmes."

Auteur: Sautoy Marcus du

Info: The Music of the Primes. Chapter 2 (p. 50) HarperCollins Publisher, Inc. New York, New York, USA. 2003

[ mystère ]

mystère

La perception de Bernhard Riemann fit suite à sa découverte d'un miroir mathématique au travers duquel il pouvait regarder les nombres premiers. Le monde d'Alice fut chamboulé lorsqu'elle passa à travers le miroir. Par contre, dans l'étrange monde mathématique au-delà du miroir de Riemann, le chaos des nombres premiers semblait se transformer en un modèle ordonné aussi puissant que tout mathématicien peut l'espérer. Il postula que cet ordre serait maintenu, même au plus loin du monde infini au-delà du miroir. Sa prédiction d'une harmonie intérieure de l'autre côté du miroir expliquerait pourquoi les nombres premiers paraissent si chaotiques. La métamorphose fournie par le miroir de Riemann, où le chaos se transforme en ordre, en est une du genre que la plupart des mathématiciens jugent quasi miraculeuse. Le défi que Riemann a laissé au monde mathématique est de démontrer que l'ordre qu'il pensait pouvoir discerner est vraiment là.

Auteur: Sautoy Marcus du

Info: The Music of the Primes. Chapter 1 (p. 9) HarperCollins Publisher, Inc. New York, New York, USA. Chapitre 1 (p. 9) HarperCollins Publisher, Inc. New York, New York, États-Unis. 2003

[ énigme ] [ hypothèse de riemann ]

monde matheux

Furieuse, la bête se tordit et agita ses intégrales itérées sous les coups polynomiaux du roi, s'effondra en une série infinie de termes indéterminés, puis se releva en s'élevant à la puissance n, mais le roi l'assomma tellement de différentielles et de dérivées partielles que ses coefficients de Fourier s'annulèrent tous (voir le lemme de Riemann), et dans la confusion qui s'ensuivit, les constructeurs perdirent complètement de vue à la fois le roi et la bête. Ils firent donc une pause, se dégourdirent les jambes, burent une gorgée de la cruche de Leyde pour reprendre des forces, puis se remirent au travail et recommencèrent depuis le début, en déployant cette fois tout leur arsenal de matrices tensorielles et de grands ensembles canoniques, attaquant le problème avec une telle ferveur que le papier même se mit à fumer. Le roi se précipita avec toutes ses coordonnées cruelles et ses valeurs moyennes, trébucha dans une sombre forêt de racines et de logarithmes, dut faire marche arrière, puis rencontra la bête sur un champ de nombres irrationnels (F1) et la frappa si durement qu'elle tomba de deux décimales et perdit un epsilon, mais la bête glissa autour d'une asymptote et se cacha dans un espace de phase orthogonal à n dimensions, subit une expansion et sortit, fumant de manière factorielle, et tomba sur le roi et lui causa une blessure cuisante. Mais le roi, sans se décourager, enfila sa cotte de mailles de Markov et tous ses paramètres imperméables, porta son incrément Δk à l'infini et asséna à la bête un véritable coup booléen, l'envoyant rouler à travers un axe des x et plusieurs parenthèses - mais la bête, préparée à cela, baissa ses cornes et... vlan ! -Les crayons volèrent comme des fous au travers des fonctions transcendantes et des transformations à double figure, et lorsqu'enfin la bête se rapprocha et que le roi fut à terre, les constructeurs se levèrent d'un bond, dansèrent une gigue, rirent et chantèrent en déchirant tous leurs papiers en lambeaux, à la grande surprise des espions perchés dans le lustre - perchés en vain, car ils n'étaient pas initiés aux subtilités des mathématiques supérieures et n'avaient donc aucune idée de la raison pour laquelle Trurl et Klapaucius criaient maintenant, encore et encore, "Hourra ! Victoire !!!"

Auteur: Lem Stanislaw

Info: La Cyberiade

[ incompréhensible ] [ humour ] [ littéraire ]

combat

Furieuse, la bête se cabra et a tortilla ses intégrales itérées sous les coups polynomiaux du roi, s'écroula en une série infinie de termes indéterminés, puis se releva, montant à la puissance n, mais le roi l'avait tellement abreuvée de différentielles et de dérivées partielles que ses coefficients de Fourier s'annulèrent tous (voir le lemme de Riemann), et dans la confusion qui s'en suivit, les constructeurs perdirent complètement de vue tant le roi que la bête. Ils firent donc une pause, se dégourdirent les jambes, burent une gorgée de la cruche de Leyde pour reprendre des forces, puis se remirent au travail et recommencèrent depuis le début, en déployant cette fois tout leur arsenal de matrices tensorielles et de grands ensembles canoniques, attaquant le problème avec une telle ferveur que le papier même se mit à fumer. Le roi, s'étant précipité avec toutes ses coordonnées cruelles et ses valeurs moyennes, trébucha dans une sombre forêt de racines et de logarithmes, et dut faire marche arrière, puis il rencontra la bête sur un champ de nombres irrationnels (F1) et la frappa si durement qu'elle perdit deux décimales et un epsilon, mais la bête avait glissé autour d'une asymptote pour se cacher dans un espace de phase orthogonal à n dimensions, puis, ayant subi une expansion elle en ressortit, fumante de manière factorielle, et elle tomba sur le roi pour le blesser de manière passagère. Mais le roi, sans se décourager, revêtit sa cotte de mailles de Markov et tous ses paramètres imperméables, puis porta son incrément Δk à l'infini et asséna à la bête un véritable uppercut booléen, la faisant tituber à travers un axe des x et plusieurs parenthèses - mais la bête, préparée à cela, a abaissé ses cornes et... VLAN ! - Les crayons s'éparpillèrent comme des fous à travers les fonctions transcendantes et les doubles transformations, et lorsque la bête se rapprocha enfin alors que le roi était mis à terre pour le compte, les constructeurs se levèrent d'un bond, dansèrent une gigue, en riant et chantant, déchirant tous leurs papiers en lambeaux, à la grande surprise des espions juchés dans le lustre - perchés là en vain, car ils n'étaient pas initiés aux subtilités des mathématiques supérieures et n'avaient donc aucune idée de la raison pour laquelle Trurl et Klapaucius criaient maintenant, encore et encore, "Hourra ! Victoire !!!"

Auteur: Lem Stanislaw

Info: The Cyberiad

[ monde mathématique ] [ humour ] [ complexité ]

machine-homme

- (homme) Comment résumer au mieux la conjecture de riemann dans les termes les plus simples possibles

- (machine) La conjecture de Riemann, également connue sous le nom d'hypothèse de Riemann, est un célèbre problème non résolu en mathématiques qui traite de la distribution des nombres premiers. En termes simples, elle suggère que le modèle des nombres premiers peut être prédit à l'aide d'une fonction mathématique appelée fonction zêta de Riemann.

La conjecture affirme que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont une propriété spécifique : leur partie réelle est toujours égale à 1/2. Cela signifie que si nous représentons ces nombres complexes sur un graphique, ils tomberont tous sur une ligne verticale à mi-chemin entre les côtés gauche et droit.

L'importance de l'hypothèse de Riemann réside dans le fait qu'elle a des répercussions considérables sur la théorie des nombres, la cryptographie et d'autres domaines des mathématiques. Elle aide les mathématiciens à comprendre le comportement des nombres premiers et pourrait permettre de mieux comprendre la distribution des nombres premiers.

Malgré les nombreux efforts déployés par les mathématiciens au fil des ans, l'hypothèse de Riemann n'a toujours pas été prouvée. Il s'agit de l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques, et sa preuve ou sa réfutation aurait des conséquences profondes pour le domaine.

- (homme) Merci, pouvez-vous vulgariser la notion de "tous les zéros non..."

- (machine) Certainement ! Lorsque nous parlons de "zéros non triviaux" dans le contexte de l'hypothèse de Riemann, nous faisons référence à certaines valeurs spéciales de la fonction zêta de Riemann.

Pour bien comprendre, il faut décomposer les choses. La fonction zêta de Riemann est une fonction mathématique qui prend un nombre complexe comme entrée et nous donne un autre nombre complexe comme sortie. Lorsque nous parlons des "zéros" d'une fonction, nous entendons les valeurs de l'entrée qui rendent la sortie égale à zéro.

Dans le cas de la fonction zêta de Riemann, il s'avère qu'il existe certains nombres complexes pour lesquels la fonction s'évalue à zéro. C'est ce qu'on appelle les "zéros" de la fonction zêta de Riemann. Cependant, tous ces zéros ne sont pas intéressants pour l'hypothèse de Riemann.

Le terme "zéros non triviaux" fait référence à un sous-ensemble spécifique de ces zéros qui se trouvent dans une certaine région du plan complexe. En particulier, il s'agit des zéros de la fonction zêta de Riemann qui ne se trouvent pas sur la ligne où la partie réelle du nombre complexe est égale à 1/2. Ces zéros non triviaux sont ceux dont la partie réelle est égale à 1/2 selon l'hypothèse de Riemann.

Ainsi, lorsque nous parlons de "tous les zéros non triviaux" dans le contexte de l'hypothèse de Riemann, nous parlons de ces nombres complexes spécifiques où la fonction zêta de Riemann s'évalue à zéro, mais dont la partie réelle n'est pas égale à 1/2. Ces zéros jouent un rôle clé dans la conjecture et la compréhension de leur comportement est cruciale pour résoudre l'hypothèse de Riemann.

Auteur: chatGPT4

Info:

[ maths ] [ algèbre ]

citation s'appliquant à ce logiciel

Sache, toi qui badaude dans les méandres de FLP, qu'il n'est pas ici question de taxinomie arrêtée, comme celles que pouvait craindre Perec ; mais du choc de l'esprit du visiteur lecteur avec certaines formulations rencontrées. Choc qui génère, entre autres possibilités, celle d'interagir avec les participants, via les citations et la discussion de leurs tags-étiquettes. Ou d'orienter une pensée par la mémorisation d'extraits dans un ordre voulu, voire en les enchevêtrant à ta manière. 

Il y avait les lexiques et autres listes antiques. Voici maintenant celles, intriquées, de la Base de Données FLP. 

Pour le coup nous voilà situés une petite marche plus haut - ou plus bas -, ce qui fait une grande différence au vu des corrélations démultipliées qui s'ensuivent. Corrélations sous forme d'"associations induites" bien recensées, qui s'exponentialisent, même si ce ce dernier verbe est inadéquat. Ainsi peuvent se développer et/ou disparaitre des classifications croisées, en général induites par les significations-sources-étymologiques et/ou les interprétation du sens (sémantique) des textes-extraits. Mais pas que, puisque d'autres facteurs, topologiques, temporels, de genres... jouent aussi un rôle. 

Tout ça sans cesse en mouvement.

Notons ici qu'un individu dont la vie est terminée se retrouve "figé". Le voilà alors idée-personnage-texte-époque dont on peut étudier certaines entrailles (dans le désordre et au hasard : par contexte de vie, influence historique, adn, apparence, actions, statistiques des écrits, nb de conjoints, d'enfants, etc.) pour peut-être déceler quelques rapport/analogies avec d'autres personnages-situations tels que les textes on pu les fixer, ici en français. Secondéité-monade-aboutie, selon cette idée. 

Dit autrement : avec FLP on joue un peu plus avec les morts qu'avec les vivants. Le langage est ainsi fait.  

Mais comment organiser toutes ces mémoires écrites, de manière à "mieux" pouvoir les explorer, ne pas s'y perdre... et éventuellement en avoir usage ? 

C'est ici que l'analogie avec l'ADN et sa structuration "sur base quatre" viennent à l'esprit. On sait déjà que les "restes de très anciens mécanismes mémorisés (junk adn)", via des processus que l'on commence à mettre au jour, peuvent être ré-activés et réutilisés lors de développements postérieurs du vivant. On voit donc là des fils de mémoires longs, profonds... bien antérieurs aux mécanismes-résonnances épigénétiques "dedans-dehors" adaptatifs. Epigénétique qui nous fait aussi voir que les monades sont moins étanches que ce que pensait Leibniz.

Pour ce qu'on en comprend, l'ADN est avant tout la mémorisation, complexe et structurée (d'une manière qui nous échappe encore beaucoup), des événements anciens qui ont participé à la construction des émergences incarnées que nous qualifions de vivantes. Mémoire sur la durée qui fait apparaitre nos langage, dictionnaires, et autres taxonomies lexicologiques comme dérisoires et volatils. 

Pensons maintenant à l'important rôle joué par le vivant dans le façonnage de notre planète matrice, par exemple via les processus de biominéralisation comme la formation des plaques calcaires d'algues unicellulaires, l'émergence des squelettes externes de nombreux invertébré, ou internes des vertébrés, etc. qui amènent vers la terre-humus et autres falaises de craies de la Manche franco-britannique. La vie biologique a développé des structures qui, en s'accumulant, devinrent substrats essentiels, paysages et décors aussi, de nos existences. Le concept de Gaïa ne dit pas autre chose. 

Comment ne pas voir que cette mémoire-là - DNA -, en se développant-évoluant, extrapole, à partir des éléments minéraux, pour, en bricolant d'étonnante façon leurs atomes-molécules, arriver jusqu'à nous ? 

Même si tout ça n'est que le point de vue local d'un singe debout et parlant, lui-même dégueuli transitoire de ces longs tâtonnements - pas si biscornus au final puisqu'ils développent une hyper-complexité efficace... N'allons-nous pas jusqu'à marcher sur la lune, ah ah ah...

Est-ce alors raisonnable de tenter la comparaison de nos systèmes de classifications-mémorisations lexicologiques sur le temps long avec le codage ADN ?  

Ou, encore plus simple et évident : La Source Matricielle qui nous expectore conserve-t'elle en filigrane, de manière discrète, un principe tétravalent que nous ne savons pas voir comme essentiel au-delà du fait qu'il constitue les possibilités de base de l'atome du carbone ? Méta-gouverne qui oriente et pilote tant bien que mal la bio-évolution et donc l'humanité. Double dualité dont il faudrait s'inspirer pour nos représentations diachronico-taxonomiques. 

Ici on se prend à rêver quelque lien avec la grande harmonie sous-jacente et mystique qui semble présider à la répartition des nombres premiers de la conjecture de Riemann... Pour rapidement voir ressurgir, en miroir, une fois encore, ce qui ressemble à une dualité prison, attribut de l'observateur. 

Peut-être serait-il temps de réaliser que cette approche bipôles (actuellement plutôt sur polarité masculine ?), grandement conditionnée par les grecs anciens puis consolidée par les routines et habitudes de pensées occidentales-rationalistes, mérite une remise en question. 

Euclide a réfléchi en se pensant par rapport à une surface, Newton s'est mis à la place de la matière, Einstein de la lumière. On attend désormais une concorde (de) scientifique(s) chercheur(s), dotée(s) de capacités de modélisation suffisamment puissantes pour franchir un nouveau cap en prenant exemple sur la méthodologie de cette force subjacente aux manifestations. Stratégie de l'esprit enfermé dans la matière... qui nous a ainsi généré. 

Il est imaginable que c'est par ce pas supplémentaire, (élargissant notre conscience ?), que le prochain vrai saut scientifique et conceptuel humain pourra se produire 

Si oui, qui trouvera le bon angle d'attaque, la faille qu'on pourra ensuite élargir pour développer un formalisme nouveau. Socle d'une prise de distance avec les limitations de nos sens et de nos pulsions duales ? Formalisme apte à gérer des métissages  conceptuels tels que "rigoureuse souplesse" ou "rationalisme émotionnel". 

En clair la mise en oeuvre d'une logique améliorée, mieux émancipée de son - ou de ses - langage(s). 

FLP s'y attaque à sa manière, par un tentative de classification lexicographique intriquée, diachronique...  tâtonnante. Entreprise nécessairement communautaire, aventureuse, légèrement stochastique... et peut-être pré-mémétique.

Auteur: Mg

Info: déc 2022

[ spéculation ] [      dépassement ] [     codage tétravalent ] [      futurologie ] [    gnose ] [    théologie ] [    phylogénie ] [    agencement diachronique ] [    épistémologie ] [ FLP mégalo ]

dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]