Comment Peirce définit-il le signe ? Il nous propose deux types de définitions.
La première est la plus formelle, elle est explicitement fondée sur les trois catégories : "Un Signe ou Representamen est un premier qui entretient avec un second appelé son objet une relation triadique si authentique qu'elle peut déterminer un troisième, appelé son interprétant, à entretenir avec son objet la même relation triadique qu'il entretient lui-même avec ce même objet" (2.274).

Peirce, fréquemment, définit également le signe en termes de pensée et d'interprétation humaine. "Un Signe, ou Representamen, est quelque chose qui tient lieu pour quelqu'un de quelque chose sous quelque rapport ou à quelque titre. Il s'adresse à quelqu'un, c'est-à-dire crée dans l'esprit de cette personne un signe équivalent ou peut-être un signe plus développé. Ce signe qu'il crée, je l'appelle l 'interprétant du premier signe. Ce signe tient lieu de quelque chose : de son objet. Il tient lieu de cet objet non sous tous rapports, mais par référence à une sorte d'idée que j'ai appelée quelquefois le fondement du representamen"(2.288).

Peirce préfère le premier type de définition qui est plus formel parce que ce ne sont pas, à strictement parler, l'esprit et les idées qui expliquent les signes, mais plutôt la théorie des signes qui explique l'esprit, la pensée et les idées. La séméiotique n'est pas à la base de la seule logique, mais aussi de l'anthropologie et de la psychologie. L'homme est un signe, et l'esprit est une suite logique d'interprétants. J'utiliserai dans cet article le mot "signe", comme le faisait habituellement Peirce, plutôt que le néologisme "representamen". Par "signe", j'entends la relation triadique du fondement, de l'objet et de l'interprétant. Comme notre usage habituel du mot est parfois plus proche de ce que PEIRCE entend par "fondement", j'écrirai parfois "signe-fondement" lorsqu'il s'agira de clarifier la signification.

Les signes ne constituent donc pas une classe d'entités parmi d'autres, comme par exemple les souris parmi les animaux ou les tables dans l'ensemble du mobilier. Tout peut participer de la relation -signe, que ce soit comme fondement, objet ou interprétant. Tout dépend de la place occupée dans le signe : comme premier, second ou troisième. Lorsqu'il est seul, le fondement est un signe virtuel, mais ce n'est pas encore un signe. Lorsqu'ils sont ensemble, le fondement et l'objet constituent également un signe virtuel. Sans l'interprétant, ce ne sont pas encore véritablement des signes.

Nous ne pensons qu'en signes.

La philosophie est un jeu avec un but et pas de règles. Les mathématiques sont un jeu avec des règles mais pas de but.

Mais si je conçois la pensée humaine sans le support, le substratum des signes graphiques ou du langage articulé, sans les images, visuelles auditives ou tactiles, c'est comme ces radicaux de chimie organique qu'il est impossible d'isoler et qui n'existent qu'en combinaison, ce qui ne nous empêche pas de manipuler, de jongler avec les mots qui les désignent, tout comme les philosophes font avec les idées pures, de les combiner même avec une infinité d'autres radicaux dont l'existence est aussi purement hypothétique et d'obtenir, par leur intermédiaire pourtant, des composés parfaitement définis et réels. Il en est de même pour les idées, qui peuvent être combinées avec des mots différents dans chaque langue et garder leur propre caractère dans ces multiples combinaisons.

C'est le langage qui doit s'adapter aux faits et non l'inverse. Tenter d'accommoder l'interprétation d'un phénomène avec un langage déjà formé et rempli d'a priori ne peut mener qu'à des conclusions fausses sur la nature des choses.

Le paradigme mathématique, principalement celui du calcul, permet de détourner notre esprit de l’imagination d’un mécanisme interne, qui constituerait l’essence du savoir, dont la pratique ne serait qu’un succédané.

La mécanique quantique, avec son saut vers les statistiques, aura été un simple palliatif à notre ignorance.

En sciences on essaye d'expliquer aux gens quelque chose que personne ne connaissait auparavant, de manière à être compris par chacun. En poésie c'est exactement le contraire.

Le but de la science est de rendre compréhensibles des choses difficiles en les simplifiant: le but de la poésie est d'énoncer des choses simples de manière incompréhensible, les deux sont incompatibles.

Le seul langage qui permette de suivre un long enchaînement de raisonnements sans tomber dans la confusion, c'est le langage mathématique.

Oui, je me demande parfois si l'homme, tout bien pesé, n'a pas fait faire à la connaissance un énorme pas en arrière en renonçant à l'imagination et à la poésie comme moyens d'investigation scientifique...

L'une des menues contributions de l'informatique aux mathématiques est l'emploi de mots entiers, plutôt que de simples lettres, pour désigner une variable; ils restent mieux en mémoire.

Les variables des langues naturelles ont un domaine restreint de variabilité (...). Au contraire les lettres dont on se sert en tant que variables en mathématiques peuvent désigner tout ce qu'on veut (...).

J'ai appris par une détenue, Maria, la définition du cercle [l'ensemble des points situés à la même distance d'un point]. Elle m'avait impressionné par sa simplicité et son évidence, alors que la rotondité parfaite du cercle m'apparaissait comme une réalité mystérieuse. C'est à ce moment, je crois, que j'ai entrevu pour la première fois (sans bien sûr me le formuler en ces termes) la puissance créatrice d'une "bonne" définition mathématique, d'une formulation qui décrit l'essence. Aujourd'hui encore, il semble que la fascination qu'a exercé sur moi cette puissance-là n'a rien perdu de sa force.

Nous devons maintenir que la géométrie mathématique n'est pas une science de l'espace, dans la mesure où nous comprenons l'espace comme une structure visuelle qui peut être remplie d'objets, mais comme une pure théorie de multiples et diverses variétés.

La vérité, c'est que toutes nos connaissances, le 100 pour cent de ce que nous savons, ne sont rien d'autre que le symbolisme et les mots que nous avons inventés afin de comprendre et d'exprimer ce que nous percevons.

Selon Dirac, Les mathématiques doivent prolonger, dans l'invisible, les mécanismes de la vision. Ainsi, avec des structures invariantes surgissent des objets réels, dotés d'une existence propre, qui ne dépendent pas des points de vue par lesquels on les considère.

La réalité contient non seulement les preuves, mais aussi les moyens (nos esprits et nos outils) de la comprendre. Il existe des symboles mathématiques dans la réalité physique. Le fait que ce soit nous qui les ayons mis ici ne les rend pas moins physiques.

En mathématiques, signes et symboles orientés vers la droite sont positifs, et négatifs s'ils sont orientés vers la gauche ; dans le domaine informatique, où ceux-ci sont multipliés, la convention est restée la même. Tous ces conditionnements finissent, évidemment, par modeler les esprits et font de presque tous les gauchers des droitiers. Que nous le voulions ou non, tout se passe dans notre tête de gauche à droite, il va sans dire que notre lecture occidentale y contribue.

Les gens pensent ne pas comprendre les mathématiques, mais il s'agit de la façon dont on leur explique. Si vous demandez à un ivrogne quel nombre est plus grand entre 2/3 ou 3/5, il ne pourra pas vous le dire. Mais si vous reformulez la question: qu'est-ce ce qui est mieux, 2 bouteilles de vodka pour 3 personnes ou 3 bouteilles de vodka pour 5 personnes, il vous le dira tout de suite: 2 bouteilles pour 3 personnes, bien sûr.

On raconte qu'à 7 ans (ou 10 ans, selon certains), Karl Gauss trouva la manière de calculer la somme de tous les nombres de 1 à 100 très rapidement, à la grande surprise de son professeur.
Il avait remarqué que faire la somme deux à deux en partant des extrémités allait plus vite: chaque somme vaut 101 et il y en a 50, soit le résultat 101 x 50 = 5 050.

Les mathématiques semblent émerger d'une concentration de l'esprit. La poésie de sa décontraction. J'aime à penser que la poésie n'a pas l'efficace continuité de raisonnement qui a conduit jusqu'à Hiroshima. Elle s'occupe de l'individu alors que la logique formelle, grégaire et partagée, s'applique à la masse et à des effets de masse.

Il existe une réalité mathématique brute, d'une insoutenable beauté, qui précède la découverte et permet d'énoncer, des constantes qui sont à elles seules le langage de l'univers.

Quant une science est a bout d'arguments, elle élargit son vocabulaire.

De même qu'en combinant la vingtaine de lettres de l'alphabet de diverses manières on peut obtenir des comédies, des tragédies, des histoires ridicules ou de grands poèmes épiques, de même, en combinant les atomes élémentaires, on obtient le monde dans son infinie variété. La métaphore est de Démocrite.

Dégager une loi naturelle, c'est dégager une formule insignifiante. Moins elle signifie quelque chose, plus nous sommes contents. C’est pourquoi nous sommes parfaitement contents de l’achèvement de la physique einsteinienne. Vous auriez tort de croire que les petites formules d’Einstein qui mettent en rapport la masse d’inertie avec une constante et quelques exposants, aient la moindre signification. C’est un pur signifiant. Et c’est pour cette raison que grâce à lui, nous tenons le monde dans le creux de la main.
[…] Il ne faudrait pas croire pour autant que notre physique implique la réduction de toute signification. A la limite il y en a une, mais sans personne pour la signifier. A l'intérieur de la physique, la seule existence d'un système signifiant implique au moins cette signification, qu'il y en ait un, d'Umwelt [univers].

Dans son essai "De organo sive arte magna cogitandi", Leibniz, qui cherche à définir un ensemble fini de pensées dont la combinatoire pourrait conduire à des tonalités de concepts "pensables", - comme c'est le cas pour les nombres - individue cette matrice combinatoire essentielle dans l'opposition entre Dieu et le néant, la présence et l'absence. Il y a là une étonnante similitude entre cette dialectique élémentaire et le calcul binaire

- Parlons maintenant des certitudes de la science, comme par exemple la vitesse de la lumière, horizon indépassable pour la vitesse de nos voyage spatiaux.

- C'est, au sein de notre paradigme actuel, un problème géométrique. Un peu comme si je disais qu'on ne peut pas aller plus profondément qu'au centre d'une sphère.

Ce n'est pas la présence de qualités poétiques qui impose un certain type d'attention mais c'est le fait de prêter un certain type d'attention qui conduit à l'émergence de qualités poétiques.

Comme bien d’autres avant elle, elle avait toujours considéré que les mathématiques ne puisaient pas leur signification dans l’univers, mais imposaient un sens à ce dernier. Les entités physiques n’étaient pas plus ou moins grandes l’une que l’autre, ni semblables ni dissemblables ; elles existaient, tout simplement. Bien qu’indépendantes, les mathématiques leur apportaient virtuellement une signification sémantique en établissant des catégories et des rapports. Elles ne décrivaient aucune qualité intrinsèque, elles se contentaient de fournir une interprétation.

De même que l’écrivain pour qui une phrase n’est pas une phrase tant qu’elle n’est pas la phrase, pour qui le texte est corps et souffle, rythme et puissance, grâce et poésie, pèse chaque mot avant de le placer dans l’écrin de ses pages, s’incarne dans le verbe, est le Verbe en personne, le mathématicien qui dans une simple formule ne perçoit pas autre chose qu’une suite de nombres et de symboles obscurs, mystérieux, mais un moyen de se soustraire au monde pour mieux s’en emparer, d’échapper au réel pour mieux l’assujettir, ce mathématicien-là, mademoiselle, s’incarne dans le nombre comme l’écrivain dans le verbe, est le Nombre en personne. Évariste, quand il fait des mathématiques - et à cette époque il ne fait que cela - est le Nombre en personne.

La linguistique devra reconnaître des lois opérant de manière universelle dans la langue, et de manière strictement rationnelle, et en séparant les phénomènes généraux de ceux qui sont limités à une branche des langues ou à une autre. 

Prenons par exemple un lacet. La meilleure représentation d'un lacet, pour un mathématicien, est un cercle avec un point qui fait une promenade le long d'un cercle, ou plus généralement d'une boucle fermée qui ressemble à un cercle. Quand je formule les choses ainsi, je fais de la géométrie. J'ai la notion de continuité, d'une promenade continue. Je pars d'un point, je me promène, je reviens sur ce point. Ce qui est important ici est qu'on pressent intuitivement qu'il s'est passé des choses terribles le long de cette boucle, parce qu'on a perdu de vue le point initial. On y revient pourtant à la fin, mais on n'y revient pas en revenant sur ses pas. On y revient un peu comme par-derrière, et il peut s'être passé des choses terribles dans l'intervalle - en fait, on sait qu'il se passe des choses terribles : c'est ce qu'on appelle l'action de monodromie. Pendant que je me promène sur mon lacet, une autre quantité se développe en spirale au-dessus. C'est ce qu'on appelle l'argument, l'angle correspondant à la fraction d'arc parcourue depuis le point de départ quand on se promène le long d'un cercle. Au départ, l'argument vaut zéro. Quand on se promène, on passe par π /4, π /3, π /2, et on progresse jusqu'à π , l'angle plat, qu'on atteint quand on a parcouru la moitié du cercle. Quand on a fait tout le tour du cercle, on est revenu au point initial, mais l'angle, lui, n'est pas revenu à 0, il est désormais 2 π . Voilà un exemple d'un phénomène dramatique qui se produit lorsqu'on se promène le long d'un lacet.

 

Il y a quelque chose de merveilleusement cocasse à songer que la littérature est le sous-produit d'un notation numérale inventée par des comptables mésopotamiens.

En terme de vocabulaire il y a des idiomes difficiles pour le traducteur, comme le turc ou l'allemand, parce qu'elles sont des langues agglutinantes. Elles peuvent dès lors composter des mots d'une grande précision. C'est confronté à ce genre de problématique du langage qu'on se dit que les maths, de par leur pureté symbolique, sont plus rassurantes pour la communication entre les hommes... Et peut-être au-delà.

... pour la plupart, les mots en français n'ont pas d'auteur, pas plus que de concepteurs délibérés. Ils ont été ré agencés inconsciemment au cours des siècles. Cela est trivial. Mais une fois que vous adoptez le point de vue du mème, vous réalisez que les mots ne sont que certaines pratiques culturelles pour lesquelles tout ça est vrai. Dans une culture, les mots sont des mèmes qui peuvent être prononcés, mais il y a aussi des mèmes très complexes qui ne peuvent pas l'être.

Les mots sont très complexes : ils sont des systèmes et les parties d'un système lui-même très complexe - le langage. Si nous voulons comprendre l'agencement de celui-ci et comment ses parties fonctionnent, reconnaissons qu'il est en fait un genre très curieux d'artefact. C'est un produit de la sélection naturelle, mais pas directement : la différence qui existe entre le français et l'anglais n'est pas dans nos gènes. Nous avons connu l'évolution d'une capacité à être des locuteurs, un processus très puissant, mais il y a aussi eu une évolution culturelle du langage : les langues se sont réagencées elles-mêmes, pour s'ajuster au cerveau, et aucun être humain n'a été le concepteur de cet ajustement !

Nous avons donc besoin des mèmes, ces entités compétitives à réplication différentielle, qui sont en compétition pour du "temps de maintien" dans les cerveaux. Les mèmes établissent des structures, qui jouent ensuite des rôles essentiels dans la tendance des mèmes à se répliquer. J'aime l'idée qu'il existe des mèmes sauvages et des mèmes domestiqués. Les mots sont aussi des mèmes sauvages : l'"Académie française" essaie de domestiquer le français, mais avec très peu de succès... Pas besoin de l'"Académie" ! Mais le calcul, lui, a besoin d'une académie : il ne se diffuserait pas sans une aide importante. Le calcul n'est pas assez "accrocheur" pour se reproduire par lui-même. Il a besoin d'une aide et doit être implanté méticuleusement dans les jeunes esprits, avec beaucoup de pratique. Tels sont les mèmes domestiqués - les mèmes de la science, de la religion, de l'opéra... Les humains ont consciemment projeté de les développer, d'être leurs protecteurs. Nous n'en sommes pas justes les vecteurs - comme pour les maladies ou les préjugés - mais aussi les gardiens. C'est une idée très fédératrice, qui comble le fossé entre Shakespeare et... (rires) la publicité, la propagande, les hymnes populaires, les religions, et tout simplement les habitudes.

Lors d’un cours de physique, une équation m’avait particulièrement frappé parce qu’on la retrouve dans des domaines très divers. Elle décrit en effet aussi bien les variations de température que la distance parcourue par une voiture, la diminution de la longueur d’une bougie allumée et beaucoup d’autres choses encore. J’avais cherché à comprendre comment la même formule pouvait s’appliquer à tous ces phénomènes. L’explication tient en ces quelques mots : les mathématiques permettent d’extraire la structure logique commune à de nombreux faits différents. Je retrouvais effectivement ce que Galilée avait découvert quatre siècles auparavant et qui lui faisait dire que les mathématiques sont le langage de l’Univers.

À la fin des années 1930, la physique théorique apparaissait de plus en plus comme une construction formelle surplombant le langage, en principe impossible à transmettre hors du petit cercle des initiés. Pourtant, un jeune physicien du nom de George Gamow (prononcer Gam-off) entreprit de présenter au public les acquis révolutionnaires de la physique quantique et de la relativité, sans jamais laisser le lyrisme déborder sur les terres de la raison. Non, voulut-il démontrer, toute bardée de mathématiques qu’elle est, la physique ne vise pas l’éradication des mots. Comme toutes les entreprises humaines, elle exige une narration passant par la langue de tous les jours, un processus de diffusion qui la transporte par-delà son cercle d’origine. Il y a même urgence à réveiller la Belle au bois dormant. Mais comment procéder ? En trouvant des astuces, des détours, des analogies permettant de verbaliser – de baliser par le verbe – l’étrangeté de ses concepts. Il ne s’agit pas de photographier la physique, mais de la traduire, de la re-transcrire. Le "truc" de Gamow ? Mettre en scène les concepts, jouer avec, les sortir de leur contexte, les faire évoluer à l’air libre, dans la vie de tous les jours, plutôt qu’essayer de les expliquer d’une façon lourdement, tristement didactique.

Frege mit au point une écriture symbolique nouvelle, qu’il baptisa "idéographie", avec l’objectif affiché qu’aucun signe ne pût posséder plusieurs sens. Ce faisant, l’arithmétique devint une extension, ou un point d’application, de la logique élevée au rang de discipline universelle : "Le langage par formules de l’arithmétique est une idéographie puisqu’il exprime immédiatement la chose sans passer par les sons"*. D’où le corollaire suivant : les sujets et les prédicats sont évacués et laissent place à la fonction et à son argument ; ainsi "Socrate est mortel" devient f(Socrate) dont le résultat, binaire, est soit vrai soit faux. S’ensuivent la définition d’opérateurs logiques (comme le conditionnel ou la négation) puis l’introduction de quantificateurs (universel et existentiel) qui dépouillent la langue de toutes ses scories pour édifier un calcul propositionnel fondé sur une syntaxe rigoureuse. L’ambition de Frege fut ainsi d’édifier un symbolisme parfait et d’en dégager les lois internes, que l’auteur nomme "fondamentales", qui dictent les procédés de transformation, de déduction et d’inférence des propositions. Son objectif fut de parvenir à une sémantique fondée sur l’univocité : à chaque proposition une seule et unique référence. C’est bien là que réside la raison d’être de son entreprise : en effet, si Frege se lance dans ce gigantesque projet de l’idéographie, c’est bien pour pallier les lacunes du langage : "[…] le langage se révèle défectueux lorsqu’il s’agit de prévenir les fautes de pensée. Il ne satisfait pas à la condition ici primordiale, celle d’univocité"**. D’où la nécessité, ajoute le philosophe un peu plus loin, de recourir à "un ensemble de signes, purifiés de toute ambiguïté, et dont la forme strictement logique ne laisse pas échapper le contenu".

En logique, il n’y a pas de morale. Chacun est libre de construire sa logique, c’est-à-dire sa forme de langage, comme il l’entend. Il doit seulement indiquer clairement, s’il souhaite en discuter avec nous, sa méthode, et fournir des règles syntaxiques plutôt que des arguments philosophiques.

Il y a un creuset commun à la physique et à la littérature, dit-il. L’une et l’autre n’ont de sens que si l’objet premier de l’effort est la recherche de la vérité. Puis, une fois que la vérité est mise à jour, sa remise en cause. Le physicien qui trouve l’explication d’un phénomène scientifique par le biais d’un modèle mathématique, se doit – et c’est sa première tâche – de le remettre en cause et d’en chercher un autre. Pour écrire, le parcours est le même. J’écris une page, parfois trente ou quarante fois, et chaque fois, je trouve que la version nouvelle est dépassée: comme si le fait de la mettre au jour la grillait. Ecrire, c’est aller sans relâche un peu plus au fond des choses. Il y a là une dimension kabbalistique: c’est la recherche du sens caché. Mais lorsque vous découvrez le sens caché des choses, il ne l’est plus. C’est sans fin.

On ne peut pas se renseigner sur les bases et la nature des mathématiques sans approfondir cette question des opérations par lesquelles sont conduites les activités mathématique de l'esprit. Si on n'en tenait pas compte on étudierait seulement la langue dans laquelle les mathématiques sont représentées et non pas l'essence des mathématiques.

Les quatre concepts de l’informatique

algorithme            machine               langage              information

4 concepts antérieurs à l’informatique, déjà là dans l’antiquité

- algorithme : addition

- machine : moulin à eau

- langage : des nombres

- information : bibliothèque d’Alexandrie

(Sans lien : La méthode d’Euler et le fardier de Cugnot)

Au début du XXe siècle. Un mathématicien et un comptable, un physicien et un fabriquant de métiers à tisser, un grammairien et un traducteur de textes anciens, un agent du chiffre et un archiviste... sont coincés dans un ascenseur.  Qu’ont-ils à se dire ?

L’informatique a tissé des liens entre ces quatre personnages/idées/concepts

- Programmation : expression d’un algorithme dans un langage

- Compilation : traduction d’un programme exprimé dans un langage pour qu’il soit exécuté par une machine

- Protocole réseau : algorithme pour faire fonctionner une machine

- Compression : un algorithme pour optimiser la représentation de l’information

Qu’est-ce que la pensée informatique ?

- Description algorithmique des phénomènes naturels (synthèse des proteines)

- Le fait de déléguer des taches a des machines (savez-vous faire une multiplication ?)

- Conception de langages pour décrire les phénomènes (grammaire des grammaires) 

- Tout concevoir comme un flux d’information (Peut-on stocker une quantité infinie d’information dans un volume fini ?)

Quoi enseigner dans les cours d’informatique au lycée ?

- l’algorithmique

- l’architecture des machines

- la programmation

- l’utilisation d’un moteur de recherche

Les mathématiciens peuvent se flatter de posséder de nouvelles idées que le simple langage humain ne peut encore exprimer. Qu'ils s'efforcent d'exprimer ces idées avec des mots appropriés, sans l'aide de symboles, et s'ils y parviennent, non seulement ils nous imposeront à nous profanes une ouverture (contrainte) durable, mais nous osons dire qu'ils se trouveront très éclairés pendant le processus, au point de douter que des idées uniquement exprimées en symboles puissent vraiment trouver leur chemin hors des équation pour entrer dans les esprits.

Le métalangage naturel s'articule sur deux bases lexicales fondamentales dont les unités types respectives sont le mot codé (toute partie du discours, dont la terminologie linguistique) et le nom autonyme*, hors code, de n'importe quelle séquence langagière, qui est l'icone de son signifié, et n'a ni synonyme ni traduction. C'est cette seconde base qui caractérise d'abord le métalangage, car toute langue peut rapporter des paroles, même sans employer de terminologie linguistique, mais non l'inverse.

Parlant de "l'erreur de Frege" Hintikka explique : La véritable source du pouvoir expressif de la logique du premier ordre ne réside pas dans la notion de quantificateur en soi, mais dans l'idée de quantificateur dépendant.

Car la logique du premier ordre n'a que deux quantificateurs :

-  universel, qui signifie "tous" ou "pour tout".

-  existentiel, qui signifie "il existe" ou "il existe au moins un".

Un quantificateur dépendant est lui lié à une autre variable. Par exemple, la proposition "Pour tout nombre x, il existe un nombre y tel que x < y" utilise un quantificateur dépendant. La variable x est liée à la variable y par la relation "x < y".

Ce quantificateur dépendant permet donc d'exprimer des propositions plus complexes que celles qui peuvent être exprimées avec les 2 quantificateurs du 1er ordre.

Par exemple, la proposition "Pour tout nombre x, il existe un nombre y tel que x < y"  (Pour tout nombre, il existe un autre nombre qui est plus grand que lui) poura être utilisée pour exprimer le concept de suite ordonnée.

Les quantificateurs dépendants sont donc essentiels à la puissance expressive d'une logique du premier ordre, beaucoup plus limitée dans ses capacités.

- Autre exemple : "Pour toute fonction f, il existe une constante c telle que f(c) = 0".

Qui veut dire que le 0 symbolise une "variable à possibilité infinie" qui offre un point d'entrée sur réel (la dimension de départ). Donc la quantification de ce 0 permettra de calculer une dimension. En physique pour calculer la longueur d'onde d'une onde électromagnétique. En chimie pour calculer la distance entre deux atomes. En biologie pour calculer la taille d'une cellule. Etc. 

Ainsi, en linguistique, ce 0, "variable à possibilité infinie" ou " symbole universel" peut être remplacé par un simple mot (pensons ici à un terme-univers à la Borges en littérature)...   Mot qui de fait, et grâce à l'imaginaire humain, pourra ouvrir beaucoup plus loin.

Pour qui voudra s'amuser avec ceci sur FLP pourra s'y essayer avec des termes comme "amour", ou "mort"...  ça marche avec à peu près tous les termes.

Autre exemple : La formule "Pour tout ensemble A, il existe un ensemble B tel que A ⊆ B".  Peut être vue comme un outil de contextualisation, voire de méta-contextualisation. Par exemple : un mot à besoin d'un texte pour prendre son sens. Ou, plus globalement :  l'ensemble A, le langage, a besoin d'un ensemble plus B grand : la réalité.

Il est possible que FLP, en tentant de briser la séquencialité (linéarité) du langage, et en proposant l'adoption d'une logique tétravalente, permette d'ouvrir de nouvelles pistes,  susceptibles de briser quelques barrières, de dépasser certaines limitations... et d'aller vers une intrication peut-être nécessaire pour celà. 

Cette IA de Deepmind pourrait révolutionner les maths et " repousser les frontières de la connaissance humaine "

DeepMind vient de frapper un grand coup : le laboratoire d'IA de Google a annoncé en janvier avoir développé AlphaGeometry, une intelligence artificielle révolutionnaire capable de rivaliser avec les médaillés d'or des Olympiades internationales dans la résolution de problèmes de géométrie. Si cela ne vous parle pas, sachez que les médailles Fields - Terence Tao, Maryam Mirzakhani et Grigori Perelman - ont tous les trois été médaillés d'or lors de cette compétition annuelle de mathématiques qui fait s'affronter les meilleurs collégiens et lycéens du monde. Or, AlphaGeometry a résolu avec succès 25 des 30 problèmes de géométrie de l'Olympiade, se rapprochant ainsi du score moyen des médaillés d'or humains. C'est 15 de plus que son prédécesseur. Mais comment les scientifiques de DeepMind ont-ils accompli un tel exploit ?

L'approche neuro-symbolique, la petite révolution de l'IA

AlphaGeometry est le fruit d'une approche neuro-symbolique, combinant un modèle de langage neuronal (MLN) et un moteur de déduction symbolique (MDS).

Les MLN sont des réseaux de neurones artificiels entraînés sur de vastes ensembles de données textuelles. Ils sont capables d'apprendre et de reconnaître des schémas et des structures dans les données textuelles, ce qui leur permet de générer du texte cohérent et de comprendre le langage naturel. Les MDS sont, pour leur part, particulièrement efficaces pour traiter des problèmes qui nécessitent une manipulation formelle des symboles et des règles logiques.

L'approche neuro-symbolique permet de faire travailler ces deux composantes en tandem : dans le cadre d'AlphaGeometry, le MLN prédit des constructions géométriques potentiellement utiles, puis le MDS utilise ces prédictions pour guider la résolution du problème. Cette combinaison offre à l'IA les capacités intuitives des réseaux de neurones et la rigueur logique des moteurs de déduction symbolique, ce qui lui permet de résoudre efficacement des problèmes de géométrie complexes.

Pour surmonter le manque de problèmes mathématiques de niveau Olympiades qui auraient dû servir de données d'entraînement à AlphaGeometry, les chercheurs ont développé une méthode innovante de génération de données synthétiques à grande échelle, permettant au génial bébé de DeepMind de s'entraîner sur un ensemble de 100 millions d'exemples uniques.

(Image : Alphageometry résoud un problème simple...) 

Mission : repousser les frontières de la connaissance

Cette réalisation marque une avancée significative dans le développement de systèmes d'IA capables de raisonner et de résoudre des problèmes mathématiques complexes, rapportent les chercheurs de DeepMind dans un article paru dans Nature en février dernier. Bien que présentant des résultats impressionnants, AlphaGeometry se heurte tout de même à quelques défis, notamment celui de s'adapter à des scénarios mathématiques de plus en plus complexes et à mobiliser ses compétences dans des domaines mathématiques autres que la géométrie. 

Malgré tout, cette avancée ouvre la voie à d'extraordinaires possibilités dans les domaines des mathématiques, des sciences et de l'IA. Ses créateurs ne cachent d'ailleurs pas leur ambition : " Notre objectif à long terme reste de construire des IA capables de transférer leurs compétences et leurs connaissances dans tous les domaines mathématiques en développant la résolution de problèmes et le raisonnement sophistiqués dont dépendront les systèmes d'IA généraux ", assènent Trieu Trinh et Thang Luong, les responsables du projet dans un communiqué. 

Le ton est donné : autrement dit, les systèmes d'IA développés par DeepMind doivent acquérir des capacités de résolution de problèmes sophistiquées et de raisonnement, ce qui implique la capacité à identifier des schémas, à formuler des hypothèses, à déduire des conclusions et à prendre des décisions logiques dans des contextes variés. Le tout en " repoussant les frontières de la connaissance humaine ". Très ambitieux, mais peut-être pas impossible.

Mon professeur Frank Ramsey... a montré que lorsqu'un système scientifique est si complètement précis, au point de pouvoir remplacer chaque mot qu'il contient, comme " électrons ", par la totalité de toutes les observations sur l'électron, alors on ne pourrait jamais rien découvrir de nouveau. Le théorème de Ramsey est dans son essence équivalent à tous les théorèmes de Tarski-Turing*  au sens où  dit que si vous poussez le symbolisme même dans un mot comme "masse" de manière à dire, comme le font les opérationalistes... "La masse est la mesure de la quantité de matière dans un objet." ou "La masse est la propriété fondamentale de la matière"... vous ne découvrirez jamais que la masse et l'énergie sont interchangeables. Vous avez fermé le système à de nouvelles découvertes.

La formulation mathématique d'une expérience physique souvent rudimentaire conduit dans un étonnant nombre de cas vers la description étonnamment précise de beaucoup de phénomènes. Démonstration que le langage mathématique mérite les éloges comme quoi il est le seul idiome que nous puissions utiliser; il montre qu'il est, de manière tout à fait réaliste, le langage adéquat.

( FLP ) - Bonjour. L'IA est toujours plus compétente pour le codage informatique... Elle sera peut-être capable d'autonomie d'ici quelques année en la matière. En tant qu'IA pourrais-tu m'expliquer les différences syntaxiques les plus importantes entre le langage humain et le codage informatique ?

(Perplexity.ai) - Voici les principales différences syntaxiques entre le langage humain et le codage informatique : Le langage humain est naturel, flexible et ambigu, tandis que le codage informatique est formel, rigide et précis. Le langage humain utilise des mots, des phrases et une grammaire complexe, alors que le codage utilise des instructions, des syntaxes et des structures de données spécifiques. Dans le langage humain, la signification dépend beaucoup du contexte et de l'interprétation. En revanche, le codage doit être sans ambiguïté et les instructions doivent être exécutées de manière déterministe. Le langage humain est souvent implicite et sous-entend des informations, tandis que le codage doit être explicite et détailler chaque étape. Les humains peuvent communiquer avec des gestes, des expressions et des sous-entendus, mais l'ordinateur ne peut comprendre que des instructions écrites de manière formelle. Enfin, le langage humain évolue naturellement, alors que le codage doit suivre des standards et des conventions stricts pour assurer la compatibilité et la maintenabilité des programmes.

(FLP) - Peut-on avancer que l'un précède s'appuie sur l'autre ? Et donc que l'un s'appuie sur l'autre ?

(Perplexity.ai) -  Oui, on peut avancer que le codage s'appuie sur le langage humain, et que le langage humain précède le codage informatique. Voici les principales raisons qui étayent cette affirmation : Le langage humain est naturel, flexible et ambigu, tandis que le codage informatique est formel, rigide et précis. Le langage humain utilise des mots, des phrases et une grammaire complexe, alors que le codage utilise des instructions, des syntaxes et des structures de données spécifiques. Le langage humain a évolué naturellement au fil du temps, alors que le codage informatique a été développé pour permettre la communication avec les machines, en s'inspirant des structures du langage humain. Les langages de programmation ont été créés comme intermédiaires entre le langage humain et le langage machine binaire. Avant de coder, les programmeurs doivent avoir une compréhension du problème à résoudre et une logique de haut niveau, souvent exprimée sous forme de pseudocode, qui s'appuie sur le langage naturel. Le codage consiste ensuite à traduire cette logique dans un langage de programmation formel. Donc oui, on peut affirmer que le langage humain précède et sert de base au développement du codage informatique, qui s'en inspire pour permettre la communication avec les machines.

(FLP) - Merci. Je suis étonné qu'a aucun moment ne soient évoquées les mathématiques

(Perplexity.ai) - Vous avez raison, les sources fournies ne traitent pas directement des mathématiques, mais plutôt des différences entre le langage naturel et le langage formel. Cependant, on peut faire les observations suivantes : Les sources soulignent que le langage mathématique, tout comme le codage informatique, se distingue du langage naturel par sa syntaxe formelle, sa précision et son absence d'ambiguïté. Elles expliquent que le langage mathématique a ses propres règles grammaticales, catégories de mots et conventions de notation. Certaines sources évoquent spécifiquement l'articulation entre la syntaxe et la sémantique dans le langage mathématique, et l'importance de cette articulation pour la compréhension et l'apprentissage des mathématiques. Donc bien que les mathématiques ne soient pas le sujet principal des sources, on peut en déduire que les différences syntaxiques entre le langage naturel et le langage formel des mathématiques sont un élément clé pour comprendre la nature et l'apprentissage des mathématiques. Les sources soulignent l'importance de cette distinction dans un contexte plus général de formalisation du langage.

(FLP) - Merci. Personnellement j'ai l'impression que ce qu'il se passe c'est que les LLMs, avec les transformers et autres outils, vectorisent des mots ou éléments de langage "au-delà" des frontières des grands idiomes humains. Et donc procèdent et établissent des genres de "catalogages sémantiques des significations"... voire même de mathématisation, du verbe humain

(Perplexity.ai) - Votre observation est pertinente. Les modèles de langage les plus avancés, comme les LLMs (Large Language Models) utilisant des architectures de type transformers, semblent en effet aller au-delà des frontières des langues humaines traditionnelles pour établir une représentation sémantique plus universelle du langage. Voici quelques points clés à ce sujet : Les langues humaines sont naturelles, flexibles et ambiguës, tandis que les langages formels comme les mathématiques ou l'informatique sont plus rigides et précis. Les LLMs cherchent à capturer la sémantique sous-jacente au-delà des spécificités syntaxiques des langues. En vectorisant les mots et éléments de langage, les LLMs établissent une représentation numérique de la signification qui transcende les frontières linguistiques. Ils peuvent ainsi faire des analogies, des inférences et des généralisations au-delà des règles grammaticales d'une langue donnée. On peut voir cela comme une forme de "mathématisation" du langage naturel, où les modèles tentent de saisir la logique et la structure sémantique profonde, au-delà des variations de surface entre les idiomes humains. Cela ouvre la voie à un traitement plus universel et formel du langage par les machines. Donc vous avez raison, les LLMs semblent viser une représentation plus abstraite et générique du langage, qui dépasse les catégorisations traditionnelles des langues naturelles. Cela leur permet d'établir des "catalogages sémantiques" plus mathématiques et transversaux, au-delà des frontières linguistiques.

 

Les équations physiques semblent suivre un mystérieux modèle mathématique basé sur la linguistique

Cela pourrait révéler des mécanismes permettant le fonctionnement de l'Univers, voire de notre cerveau.

Une étude récente révèle que les équations mathématiques imposent les lois de la physique suivent étrangement un schéma précis en accord avec la loi de Zipf, décrivant la fréquence des mots dans les textes. En clair, les éléments constitutifs de ces équations sont systématiquement agencés de manière similaire, quel que soit le phénomène étudié. Ce constat pourrait éclairer non seulement le fonctionnement de l'Univers, mais aussi celui du cerveau humain, voire les deux simultanément.

Énoncée en 1949 par le linguiste et philologue américain George Kingsley Zipf, cette loi éponyme régit la distribution des fréquences des mots dans les textes ou les langues naturelles. Selon ce principe, le mot le plus courant dans une langue apparaît deux fois plus fréquemment que le second, trois fois plus que le troisième et ainsi de suite. Dans un texte en anglais, par exemple, le mot " le " représente 7 % du texte entier, alors que " le " en occupe 3,5 %.

Cette loi trouve également des applications dans d'autres domaines, tels que la répartition des tailles de villes en fonction de leur population, où la plus grande ville est plus peuplée que la deuxième et la troisième, selon une proportion universelle à travers le temps et l'espace. Les analystes l'utilisent également pour d'autres paramètres sociodémographiques, comme la répartition des revenus par habitant et la prévalence des métiers selon la population.

(Image : fréquence des mots en fonction du rang dans la version originale du roman " Ulysse " (en anglais) de James Joyce, selon la loi de Zipf. "

Des chercheurs de l'Université d'Oxford postulent que ce principe peut également s 'appliquer aux équations mathématiques décrivant les lois physiques, et ce, malgré leurs différences apparentes. "  Au-delà de leurs principes fondamentaux, il est légitime de se demander si les formules physiques ne cachent pas des motifs plus subtils  ", expliquent les auteurs dans leur étude, publiée sur la plateforme  arXiv . «  Nous confirmons cette hypothèse en examinant la distribution statistique des opérateurs dans trois corpus de formules  », ajoute-ils

Un miroir du fonctionnement de l'Univers et de notre esprit ?

En physique, les mathématiques servent à décrire des phénomènes divers et variés tels que la loi de la gravité de Newton (F = GmM/r²), la relativité générale d'Einstein (E = mc²) et la formule de Hawking–Bekenstein pour l 'entropie d'un trou noir (S = kBAc³/4Gℏ). La partie droite de ces équations évoque en quelque sorte un texte, où les mots correspondraient aux opérateurs et aux opérandes. Par ailleurs, toutes les équations comportent des variables représentées par des lettres (G, m, c, etc.), ainsi que des facteurs numériques qui, bien que jouant un rôle moindre, restent importants.

L'équipe de recherche d'Oxford a émis l'hypothèse que ces composants pourraient être modélisés selon la loi de Zipf. Pour tester cette dernière, ils ont analysé un vaste ensemble d'équations physiques provenant de trois sources : les Conférences de Feynman sur la physique, des équations nommées d'après des experts sur Wikipédia, et celles décrivant l'inflation de l'univers primitif. . Chaque symbole et opérateur a ensuite été classé selon sa fréquence d'apparition.

On aurait pu s'attendre à ce que cette distribution varie considérablement, compte tenu des différences entre les équations et les lois physiques qu'elles déterminent. Pourtant, les analyses montrent que ces équations conservent une configuration constante. Certains symboles et opérateurs se répètent plus fréquemment que d'autres, quel que soit le sous-ensemble examiné.

(Image : Distribution de la complexité de l'expression dans les trois corpus, qui correspondent approximativement au nombre d'opérateurs apparaissant dans l'équation)

Cependant, cette configuration de Zipf disparaît lorsqu'on applique l'analyse à des équations apparaît aléatoirement. Cela suggère l'existence d'une cohérence particulière dans les motifs des équations étudiées, même pour les symboles rarement récurrents, tels que le logarithme (log) et l'exponentiel (exp), souligne l'étude. 

Étant donné que ces équations servent à décrire les phénomènes physiques structurant notre univers, cette cohérence pourrait révéler la manière dont celui-ci fonctionne dans sa globalité. "  Comprendre les raisons sous-tendant ce modèle statistique pourrait éclairer le modus operandi de la nature ou mettre en évidence des schémas récurrents dans les tentatives des médecins de formaliser les lois naturelles  ", avancent les chercheurs.

D'autre part, ces résultats pourraient également refléter notre tendance à choisir la voie la plus simple pour résoudre un problème. Selon la loi linguistique de Zipf, nous cherchons à transmettre le maximum d'informations avec le moins de mots et le plus rapidement possible. Les chercheurs montrent que les équations physiques semblent suivre cette même logique, ce qui pourrait illustrer le mode de fonctionnement de notre esprit, notamment une tendance à écarter les explications complexes. Il se pourrait aussi que ces deux interprétations soient correctes.

Quelle que soit l'interprétation de ces résultats, les chercheurs estiment qu'ils pourraient influencer les recherches futures en physique. "  En pionniers dans l'étude des régularités statistiques des équations de la physique, nos résultats ouvrent la voie à une méta-loi de la nature, une loi (probabiliste) à laquelle toutes les lois physiques se conforment  ", concluent-ils. Ces travaux pourraient également être exploités pour développer des modèles d'apprentissage automatique et améliorer leur capacité à prédire de nouvelles lois physiques.



 

De même qu'un sonnet shakespearien capture l'essence même de l'amour, ou une peinture qui fait ressortir la beauté d'une humaine qui est bien plus que les apparences sous la peau, l'équation d'Euler atteint les profondeurs mêmes de l'existence.